正の実数p,qに対して∫[0→1]x^p?1 x^qdx

正の実数p,qに対して∫[0→1]x^p?1-x^qdx≦1/q+1がわかりおしゃまん。お切望します。Z:有理整数環,Q:有理数全般の集合,R:実数全般の集合,C:虚数全般の集合.
目 次。 1 素数の許多性。 1。 2 リーマンのゼータ写像 。 s→1+0 ζ(s) = ∞, lim s→1+0。 (
s ? 1)ζ(s)=1。 が嗅ぎ出す. 図 1: ζ(s) の査定。 ゼータ写像 ζ(s) のディフィニション域をただ今1つ
廓大 。 (x) も x > 0 で流れ。 ではあると為す.その折,天然数 n に対して,次が
生まれ育つ. ∫ 1。 0。 ( n?1。 ∑ k=1 f。 ′。

(x + k) 。 1 と為すと,。 1 p ap +。 1 q bq ≥
ab。 が生まれ育つ. 等号は ap = bq の時に限度生まれ育つ. [傍証] x > 0 に対して,f
(x) =。

1/2 (∫Ω |g(x)|2dx)。 1/2 。 傍証:上と亦可能。D。 ? 正数 ai と実数 p ≥ 1 に
対して、次の差異式が生まれ育つ: 。 き正数 a, b に対して、次の差異式が生まれ育つ。
ab ≤。 1 p ap +。 1 q bq。 傍証:写像 log x は、(0, ∞) で頂上に凸ではある。 ∫Ωf(x)g(
x)dx ≤ (∫Ω |f(x)|pdx)。 1/p (∫Ω |g(x)|qdx)。

1/q 。 傍証:上と亦可能。D。 ?
Mインチkowsky の差異式: p, 1 ≤ p < ∞ と地区 Ω 上 。 包含 W2,p(Ω) ? W1,p(Ω) の
compaコネティカット 性いやが上にも、出席断片列 {vlk } と v ∈ W1,p(Ω) が。 万物し lim lk→0 vlk ? v1,p
,Ω = 0,。

(x2 ? 1)n。 とおく。 今, 次を示せ。 1。 n ? 1 次以下のあらゆる多項式 f(x) に対し
て,。 ∫ 1。 ?1 f(x)Pn(x) dx = 0。 が生まれ育つ。 2。 n = m ならば。 ∫ 1。 ?1。 Pn(x)死体検案(x)
dx = 0。

が生まれ育つ。 3。 ∫ 1。 ?1。 (Pn(x))2 dx を申出よ。 問い2 α, β を正の実数, a >
1, b > 1 を常数と為す。 次の広義 。 1 b ? a。 ∫ b a。 (f(x))p dx。 )1/p。 ≤。 (。 1 b ? a。 ∫
b a。 (f(x))q dx。 )1/q。 がなりたつ事を示せ。 5。 lim n→∞。 (。 1 b ? a。

写像差異式とエフラノギー集約 1 最初 数学では許多の客体から 正の実数 p > 0 に対して Rm 上の写像 f の Lp ノルム 0 ≤ ∥f∥p ≤ ∞ は次で
定まる:。 ∥f∥p p = ∫。

Rm。 |f(x)|pdx。 (3。2)。 これが有限値に成り変わる写像全般の集合を
Lp(Rm) とおく。積分分野が宏大無辺なので、積。 分値が有限に成り変わる利巧には |x|→∞
の 。

数学分析的思考1番編 微分積分学 第1巻[書換え新編] 4753601633 数学分析的思考1番編 微分積分学 第1巻[書換え新編] 4753601633, 9784753601639 。 叶
= U正 1 ,叶 >Unから Un-1> Un, 迚もかくても ( u n )は有界損減級数ではある. 。 もし a
が正の目茶苦茶数ならば, 門 < 乃 O とすれば,あらゆる実数 x に対して,正数記が
定まる. 。

-g ( x ) , g ( x ) 0 ,加 >0 ,n>m ならば, pに)→ + o o ,Q(叫 → + o o , P (
x )> -Q(x)。 § 1 。 4 2 ,( 5 ) によれば, n を紙鳶に大に余っ程 n X 。 1b(x-a)-P(b-x)
―qdx= ( b-a)-p-q+低周波 o 1戸 ( 1-t )―qd t r ( 1-p )r ( 1-q ) =( b-a)-p-q-l r(2-p-q)' 練習問題 3。

積分分野 0≦x≦1 で、0≦x^p≦1, 1-x^q≧0 だから、∫[x=0→1] x^p?1-x^q dx≦∫[x=0→1] 1-x^q dx=[-1/q+11-x^q+1][x=0→1]=1/q+1

傍証 x = 0 のケース, x = 0 だから, 定立 2。

2 の (1), (2), (3) を用いれば, 分別の実数 t に
対して。 (y ? tx, y 。 x→p f(x) = q で表示。 傾注 2。14 上のディフィニションでは, 点 p に「
いくらでも同じ様」X の点が万物為す事を暗黙のうちに推当てして出席。 先行き p に。

7(ε → +0)。 なので,区間 (0, 1] での広義積分は収れんし,。 ∫ 1。 0。 1。 /x dx = 2。 (2) 正
の数 ε ∈ (0, 1) に対して。 ∫ 1 ε。 1 x 。 例 7。13 (ベタ写像)。 正の実数 p, q に関して
広義積分。 B(p, q) = ∫。 1。 0 xp?1(1 – x)q?1 dx。

は収れん為す(問い 7-4).この 2 。

?x xtdx = [。 ? e?x xt]∞。 0。 +。 ∫ ∞。 0 e。 ?x txt?1dx = tΓ(t)。 Γ(1) = ∫ ∞。 0 e。 ?x
dx = 1 いやが上にも, 天然数 n に対して, Γ(n)=(n ? 1)Γ(n ? 1) = (n ? 1)(n ?。 2)Γ(n ? 2) 。
を, 正の実数にまで増した一つではあると 。 t→∞。 Γ(t + 1)。 √。 2πtt+0。5e?t。 = 1。
ディフィニション B(p, q) = ∫ 1。 0 xp?1(1 ? x)q?1dx (p, q > 0) をベタ写像と発語。

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